Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x - 2}{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ comme une équation.

$y = \frac{x - 2}{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y - 2}{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y - 2}{y} = x$ .

$\frac{y - 2}{y} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y - 2}{y} = x$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y - 2}{y} = x$ par $y$ .

$\frac{y - 2}{y} y = x y$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 2}{y} y = x y$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 2 = x y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$y - 2 - x y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y - x y = 2$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y - x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 2$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 2$ par $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{1 - x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x - 2}{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{1 - (\frac{x - 2}{x})}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x}{x} - \frac{x - 2}{x}}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - (x - 2)}{x}}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\frac{x - (x - 2)}{x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - x + 2}{x}}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - x + 2}{x}}$

Étape 5.2.3.3.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{0 + 2}{x}}$

Étape 5.2.3.3.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2}{1 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{(\frac{2}{1 - x}) - 2}{\frac{2}{1 - x}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} - 2) (\frac{1 - x}{2})$

Étape 5.3.4

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (\frac{1 - x}{2})$

Étape 5.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.5.1

Associez $- 2$ et $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x}) (\frac{1 - x}{2})$

Étape 5.3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 (1 - x)$ .

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Étape 5.3.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1) - 2 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (1 - x)$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1) + 2 (- (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- (1 - x))$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 \cdot 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + 1 x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (0 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.6.6

Additionnez $0$ et $x$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.7.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Étape 5.3.7.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.3.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Étape 5.3.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{1 - x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$